Note de Mr Delaunay sur une nouvelle théorie du mouvement de la Lune

Nous célébrons cette année le bicentenaire de la naissance de Charles-Eugène Delaunay (1816-1872, X1834), membre de l’Académie des sciences, et éphémère directeur de l’Observatoire de Paris, de 1870 à sa mort accidentelle en 1872. Si Delaunay demeure présent dans les mémoires aujourd’hui, c’est essentiellement grâce à sa théorie de la Lune, encore étudiée par les savants contemporains comme le montre l’analyse d’Anders Persson, publiée sur BibNum (avril 2016) sous le titre « Pourquoi la Lune nous abandonne-t-elle ? »[1].

Pour ma part, je souhaite mettre l’accent sur une institution fondamentale dans la carrière de Delaunay : le Bureau des longitudes dont il devint l’un des membres les plus actifs à compter de 1862. Le manuscrit dont je propose l’analyse est la transcription d’une lecture par Ernest Laugier[2], au Bureau des longitudes, d’une note « de M^r Delaunay sur une nouvelle théorie du mouvement de la Lune », le 19 mai 1858. Grâce à une collaboration entre le Bureau des longitudes, la bibliothèque de l’Observatoire de Paris et les Archives Poincaré (université de Lorraine), les procès-verbaux du Bureau des longitudes – jusque-là uniquement consultables sur place – sont désormais numérisés et accessibles sur la plate-forme : http://bdl.ahp-numerique.fr/

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Avant d’entrer dans le vif du sujet, soulignons l’importance du réseau polytechnicien dans l’histoire du Bureau des longitudes au milieu du xix^e siècle. Le rôle du mentor est tenu par Joseph Liouville (1809-1882, X1825), entré au Bureau en 1840. Enseignant à Polytechnique, Liouville y rencontre nombre de jeunes gens prometteurs dont il s’attache à favoriser la carrière. Ainsi appuie-t-il l’entrée au Bureau d’Urbain Le Verrier[3] (X1831), d’Hervé Faye[4] (X1832), et de Delaunay. Autant les deux premiers le décevront rapidement, autant le dernier lui demeurera fidèle sa vie durant. Les perturbations d’Uranus – qui conduiront Le Verrier à la découverte de Neptune – sont l’un des sujets de mécanique céleste les plus étudiés dans les années 1840. Liouville incite Delaunay à s’y consacrer. Mais, dès 1842, des escarmouches à fleuret non moucheté se produisent à l’Académie des sciences entre Delaunay et Le Verrier, autour des notes que chacun soumet[5]. Elles marquent le début d’une guerre sans merci que se livreront les deux hommes jusqu’à la mort de Delaunay. La violence de l’épisode conduit Delaunay à se choisir un nouveau thème de travail. Ce sera le mouvement de la Lune sur lequel il produit un premier travail présenté à l’Académie des sciences en 1846[6].

En 1858, lorsqu’il rédige sa note (texte BibNum) Delaunay a consolidé sa position – il est devenu membre de l’Académie des sciences en 1855 et enseigne dans plusieurs institutions prestigieuses (Mines, Polytechnique, Sorbonne). De son côté, le Bureau des longitudes traverse une période de crise et d’errance depuis la nomination de Le Verrier à la tête de l’Observatoire de Paris et la séparation des deux entités survenue en 1854[8]. Le Verrier a chassé de l’Observatoire tout le « clan » Arago – dont Claude Louis Mathieu[9], Laugier et Ernest Liouville, fils de Joseph. Le Bureau a perdu l’essentiel de son budget, une bonne part de ses instruments et n’a plus de salle de réunion[10]. En dépit de ces rudes conditions matérielles, il poursuit néanmoins ses réunions hebdomadaires. Il est fondamental pour sa survie de montrer à sa tutelle (le ministère de l’Instruction publique) que des travaux scientifiques de valeur y sont produits. Les originaux des procès-verbaux des heures sombres ont disparu mais nous possédons des copies qui sont numérisées au même titre que les originaux des autres décennies.

Le manuscrit que nous étudions ici est un condensé de la communication faite à l’Académie des sciences par Delaunay deux jours plus tôt (le 17 mai 1858). Celle-ci sera publiée dans les Comptes rendus[11] et dans le Journal de Liouville[12].  La lecture du résumé par Laugier au Bureau permet aux membres de celui-ci d’avoir la primeur d’une théorie qui ne sera imprimée que quelques mois plus tard. Le projet de Delaunay est de dresser un état des lieux de l’étude du mouvement de la Lune puis de montrer l’originalité de la méthode qu’il a choisie.

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Dans le premier paragraphe, Delaunay expose l’enjeu du problème. Il s’agit d’établir « les formules avec un degré d’approximation suffisant pour les besoins de l’astronomie » et de « servir de bases à la construction de tables lunaires, en n’empruntant à l’observation que les données indispensables de la question ». Ces deux citations nous rappellent que l’établissement d’éphémérides fiables est l’une des tâches essentielles de l’astronome. L’une des obligations fondamentales du Bureau des longitudes est, du reste, la publication annuelle de la Connaissance des temps, recueil de tables astronomiques créé en 1678.

Si les premières tables furent bâties à partir d’observations répétées, l’irruption de la gravitation newtonienne a changé la donne. C’est désormais la théorie du mouvement qui prime, le rôle de l’observation devenant secondaire[13]. Parmi toutes les tables, celles de la Lune revêtent aux xviii^e et xix^e siècles une importance particulière puisqu’elles sont indispensables à l’une des méthodes astronomiques de détermination des longitudes en mer, celle des distances lunaires[14]. Les chronomètres de marine tardant à se généraliser en raison de leur coût très élevé et de leur entretien complexe, cette méthode perdurera jusqu’à la fin du xix^e siècle. Les éphémérides, et en particulier les tables lunaires, engendrent également une concurrence internationale acharnée, la Connaissance des temps tentant de rivaliser avec son homologue anglais, le Nautical Almanac.

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Delaunay en vient ensuite à trois acteurs contemporains importants de la théorie de la Lune, Damoiseau, Plana et Hansen (voir encadré biographique ci-dessous), dont il étudie la contribution dans le paragraphe suivant. Auparavant, il ne manque pas de souligner la complexité du problème auquel il s’attaque :

Cela tient à ce que la détermination précise des nombreuses inégalités de la lune est d’une extrême difficulté en raison de la grandeur de la force perturbatrice qui les occasionne […]

En effet, si l’on considère uniquement le couple Terre-Lune, la solution est fournie par Kepler : la Lune décrit une ellipse dont la Terre occupe un foyer, d’où la mention des « valeurs elliptiques » que l’on voit poindre plus loin dans le manuscrit. Mais l’attraction gravitationnelle du Soleil induit des perturbations considérables qu’il convient de calculer. La figure tutélaire de Laplace apparaît alors, Delaunay mettant en avant la filiation intellectuelle de ce dernier avec Clairaut[15]. La position de la Lune est repérée par trois coordonnées – latitude, longitude vraie et parallaxe – fonctions du temps. Damoiseau et Plana parviennent aux trois expressions par une méthode indirecte tandis que Hansen les obtient directement. Il reste alors à proposer une résolution approchée des équations différentielles sur laquelle les trois auteurs se rejoignent : ils utilisent « la méthode bien connue des approximations successives » dont Delaunay donne l’idée générale en précisant que « c’est là qu’est toute la difficulté ». En effet, alors que pour Soleil et planètes, « la première approximation donne presque tout ce que l’on cherche », la Lune nécessite de « faire complètement au moins quatre ou cinq de ces approximations successives ». Bien que Delaunay ne l’évoque pas, rappelons que c’est cette difficulté qui conduisit Clairaut à mettre en cause la loi de la gravitation en 1747. S’étant arrêté – comme Euler et d’Alembert – à la première approximation, il trouvait une valeur moitié de celle qui résultait de l’observation. Mais très vite, il prit conscience de son erreur et la corrigea.

Delaunay en vient alors à exposer l’originalité de sa méthode, en rendant hommage à un autre membre éminent du Bureau des longitudes Siméon-Denis Poisson (1781-1840, X1798). Lorsqu’il écrit « [l]e beau Mémoire de Poisson m’a servi de point de départ », il fait référence au Mémoire sur le mouvement de la Lune autour de la Terre, lu à l’Académie des sciences le 17 juin 1833[17]. Il y puise, entre autres, la méthode de la variation des constantes arbitraires[18] introduite par Lagrange et perfectionnée par Poisson :

La fonction périodique qui entre dans ces équations différentielles et dans laquelle les coordonnées de la lune ont été remplacées par leurs valeurs elliptiques peut être facilement développée en une série de termes périodiques.

Delaunay soumet alors ces équations à « un grand nombre de transformations, toutes de même nature », dont il souligne l’analogie avec les « changements de coordonnées que l’on emploie en géométrie, et dont le but est de

faire disparaître les uns après les autres les divers termes périodiques de la fonction perturbatrice qui ont le plus d’influence sur la production des inégalités.

L’intégration des équations différentielles en est considérablement simplifiée. Delaunay livre alors un exemple de l’efficacité de sa méthode : alors que Plana, par sa méthode d’approximations successives, a dû s’arrêter aux termes du 5^ème ordre, Delaunay a pu pousser jusqu’au 7^ème ordre et pourrait aller au-delà. Il souligne qu’il n’a pas encore eu le temps de mener à bien les « calculs immenses » qui découlent de ses formules mais qu’il a souhaité réserver au Bureau l’annonce des premières conclusions de ses travaux, eu égard à l’intérêt de celui-ci pour toute méthode qui perfectionnerait les tables lunaires, si importantes pour la Connaissance des temps.

Le procès-verbal se clôt par le désir émis par « plusieurs membres » de voir le Mémoire publié dans la Connaissance des temps. Ce sera chose faite à partir du recueil pour 1861[19] où paraît une « Nouvelle méthode Pour l’intégration des équations différentielles du mouvement de la Lune autour de la Terre »[20] dans laquelle les calculs sont détaillés. 

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La comparaison établie par Delaunay entre sa méthode et celle de ses trois prédécesseurs peut surprendre. Dans une théorie de la Lune, il serait légitime d’attendre des arguments astronomiques. En réalité, tout est affaire de résolution d’équations différentielles et donc de mathématiques. La mécanique céleste demeure, comme aux origines, un domaine d’application voire d’invention de mathématiques de haut niveau. Le grand astronome américain Simon Newcomb dit ainsi au Congrès international des mathématiciens de 1908 :

Le grand ouvrage de DELAUNAY, Théorie du mouvement de la Lune, est un monument de calcul algébrique et numérique, si merveilleux qu’il semble extraordinaire qu’un seul homme ait pu l’ériger[21].

Sous la signature de Laplace, Poisson, Poinsot, Liouville ou Poincaré, les Additions à la Connaissance des temps − qui offrent l’opportunité aux membres de publier des mémoires sur leurs recherches en cours − attestent de cette prégnance des mathématiques au Bureau des longitudes.

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Finalement, Delaunay publie sa Théorie du mouvement de la Lune en deux volumes, en 1860 et 1867. Aussitôt les attaques de Le Verrier pleuvent et les violents échanges peuplent les pages des Comptes rendus de l’Académie des sciences. En 1866, Le Verrier incite le jeune Félix Tisserand (1845-1896), astronome-adjoint à l’Observatoire, à mettre au jour toutes les erreurs de Delaunay. Mais, si Tisserand étudie la théorie de la Lune jusqu’à lui consacrer sa thèse en 1868[22], ce n’est pas dans l’état d’esprit négatif attendu par le directeur de l’Observatoire. Bien au contraire, dans le volume I de son Traité de mécanique céleste (1889), il améliore la méthode de variation des constantes arbitraires utilisée par Delaunay et l’étend à l’étude du mouvement des planètes.

Figure 2 : L’astronome Félix Tisserand (1845-1896).

Paradoxalement, la Connaissance des temps adopte les tables de Hansen en 1862, à l’imitation du Nautical Almanac. Ce n’est qu’en 1915 que les tables de Radau[23], calculées, à l’initiative du Bureau des longitudes, à partir de la théorie de Delaunay, y seront substituées et utilisées jusqu’en 1925.

(juin 2016)