Ce texte est la réponse de Leibniz au défi lancé par Bernoulli de connaître la forme prise par un fil sous l’effet de son poids : la courbe de la chaînette est ainsi découverte grâce au calcul différentiel de Leibniz.
Ce texte d’une grande diversité est la preuve de l’irrationalité de π et l’acte de naissance des fonctions hyperboliques (sinus et cosinus hyperboliques).
Descartes introduit le calcul dans la résolution des problèmes géométriques ; c’est la naissance des « coordonnées cartésiennes ».
Leibniz décrit dans ce texte sa machine arithmétique, sur laquelle il travaillait dès sa jeunesse, et qui permet de faire les multiplications en décalant une partie mobile d’un cran vers la gauche, comme lorsqu’on pose une multiplication à la main.
À propos d’un livre de Bouasse, Duhem étudie les rapports entre mathématiques et physique, et dénonce la particularité française de l’enseignement de « mécanique rationnelle » rattaché aux mathématiques.
Ce manuscrit exceptionnel apparaît à ce jour comme la plus ancienne évocation d'un calculateur binaire, à l’instar de ceux que nous utilisons aujourd’hui. Car, comme nous le rappelle Leibniz dès 1679, pour multiplier des 0 et des 1, point n'est besoin de connaître la table de multiplication...